Что такое делители помним?
Вопрос: Найдите трёхзначное натуральное число, имеющее наибольшее число натуральных делителей.
ответ:
Правильный ответ: 840
Комментарий: Если число при разложении на простые числа имеет вид pk×ql×rm..., то число его делителей равно (k+1)(l+1)(m+1)..., то есть оно не зависит от чисел p, q, r..., а только от их степеней.
Для увеличения числа делителей выгоднее увеличивать число простых делителей, чем увеличивать числа k, l, m... выше единицы. Например, число 2×3×5 будет иметь больше делителей, чем 22×3 или 2×32.
Если мы будем умножать подряд простые числа, то максимальным трёхзначным числом, которое мы сможем получить, будет число 2×3×5×7=210. Если увеличить значения степеней у простых множителей, то число делителей тоже увеличится. Мы можем увеличить степень у 2-ки на 2 или у тройки на 1. Выгоднее первое, тогда общее количество делителей будет равно 4×2×2×2=32. А числом, которое будет иметь столько делителей, будет число 210×22=840.
